Αγαπητέ μαθητή, ας ξεκαθαρίσουμε τι είναι αυτές οι δύο σημαντικές γωνίες στον κύκλο και πώς συνδέονται.
**Επίκεντρη Γωνία**: Φαντάσου έναν κύκλο με κέντρο το σημείο Ο. Μια επίκεντρη γωνία είναι αυτή που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου (το Ο) και οι πλευρές της είναι δύο ακτίνες του κύκλου. Για παράδειγμα, αν πάρουμε δύο σημεία Α και Β στην περιφέρεια του κύκλου, η γωνία ΑΟΒ είναι επίκεντρη. Το μέτρο μιας επίκεντρης γωνίας είναι ίσο με το μέτρο του τόξου στο οποίο βαίνει (δηλαδή του τόξου ΑΒ που "βλέπει" η γωνία). Αν το τόξο ΑΒ είναι 60 μοίρες, τότε και η γωνία ΑΟΒ είναι 60 μοίρες.
**Εγγεγραμμένη Γωνία**: Μια εγγεγραμμένη γωνία είναι αυτή που έχει την κορυφή της πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, και οι πλευρές της είναι δύο χορδές του κύκλου. Για παράδειγμα, αν πάρουμε ένα σημείο Γ στην περιφέρεια και ενώσουμε το Γ με τα σημεία Α και Β (που είναι επίσης στην περιφέρεια), τότε η γωνία ΑΓΒ είναι εγγεγραμμένη. Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο βαίνει. Έτσι, αν η γωνία ΑΓΒ βαίνει στο τόξο ΑΒ, τότε το μέτρο της γωνίας ΑΓΒ είναι το μισό του μέτρου του τόξου ΑΒ.
**Η Σχέση τους**: Εδώ είναι το πιο σημαντικό! Αν μια επίκεντρη γωνία και μια εγγεγραμμένη γωνία βαίνουν στο ίδιο τόξο, τότε η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της επίκεντρης γωνίας. Δηλαδή, αν η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ και η εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ βαίνουν και οι δύο στο τόξο ΑΒ, τότε η γωνία ΑΓΒ = ½ * γωνία ΑΟΒ. Αυτό σημαίνει ότι η επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια της εγγεγραμμένης. Μια ειδική περίπτωση είναι όταν η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει σε ημικύκλιο (δηλαδή το τόξο της είναι 180 μοίρες). Τότε, η εγγεγραμμένη γωνία είναι πάντα ορθή, δηλαδή 90 μοίρες.
