Για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (π.χ. x και y), αναζητούμε ένα ζεύγος τιμών (x, y) που ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Υπάρχουν δύο βασικές αλγεβρικές μέθοδοι: η μέθοδος της αντικατάστασης και η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή απαλοιφής).
**Μέθοδος Αντικατάστασης:**
1. **Βήμα 1:** Διαλέγουμε μία από τις δύο εξισώσεις και λύνουμε ως προς έναν από τους αγνώστους (π.χ. εκφράζουμε το x συναρτήσει του y). Προσπάθησε να επιλέξεις τον άγνωστο που έχει συντελεστή 1 ή -1 για να αποφύγεις κλάσματα.
2. **Βήμα 2:** Αντικαθιστούμε την έκφραση που βρήκαμε στο Βήμα 1 στην άλλη εξίσωση. Έτσι, η δεύτερη εξίσωση θα περιέχει πλέον μόνο έναν άγνωστο.
3. **Βήμα 3:** Λύνουμε την εξίσωση που προέκυψε στο Βήμα 2 για να βρούμε την τιμή του ενός αγνώστου.
4. **Βήμα 4:** Αντικαθιστούμε την τιμή που βρήκαμε στο Βήμα 3 στην έκφραση του Βήματος 1 (ή σε μία από τις αρχικές εξισώσεις) για να βρούμε την τιμή του άλλου αγνώστου.
5. **Βήμα 5:** Επαληθεύουμε τις λύσεις (x, y) αντικαθιστώντας τις και στις δύο αρχικές εξισώσεις.
**Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών (Απαλοιφής):**
1. **Βήμα 1:** Στόχος είναι να κάνουμε τους συντελεστές ενός αγνώστου (π.χ. του x) αντίθετους αριθμούς στις δύο εξισώσεις. Για να το πετύχουμε αυτό, μπορεί να χρειαστεί να πολλαπλασιάσουμε μία ή και τις δύο εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς.
2. **Βήμα 2:** Προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις κατά μέλη. Λόγω των αντίθετων συντελεστών, ο ένας άγνωστος θα απαλειφθεί, και θα μείνει μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο.
3. **Βήμα 3:** Λύνουμε την εξίσωση που προέκυψε στο Βήμα 2 για να βρούμε την τιμή του ενός αγνώστου.
4. **Βήμα 4:** Αντικαθιστούμε την τιμή που βρήκαμε στο Βήμα 3 σε μία από τις αρχικές εξισώσεις για να βρούμε την τιμή του άλλου αγνώστου.
5. **Βήμα 5:** Επαληθεύουμε τις λύσεις (x, y) και στις δύο αρχικές εξισώσεις.
Κάθε μέθοδος έχει τα πλεονεκτήματά της ανάλογα με τη μορφή του συστήματος. Η γραφική μέθοδος, όπου σχεδιάζουμε τις δύο ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις, μας δείχνει ότι η λύση είναι το σημείο τομής τους.
