Η εγγεγραμμένη γωνία είναι μια γωνία με την κορυφή της στην περιφέρεια του κύκλου και οι πλευρές της είναι δύο χορδές του κύκλου. Σχετίζεται άμεσα με την επίκεντρη γωνία, η οποία έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της είναι δύο ακτίνες. Όταν και οι δύο γωνίες βαίνουν στο ίδιο τόξο, η εγγεγραμμένη γωνία είναι πάντα το μισό της επίκεντρης γωνίας.
Εισαγωγή: Ο Κύκλος και οι Γωνίες του
Ο κύκλος είναι ένα από τα πιο θεμελιώδη γεωμετρικά σχήματα, γεμάτο με ενδιαφέρουσες ιδιότητες και σχέσεις. Μία από τις πιο σημαντικές πτυχές του είναι οι γωνίες που σχηματίζονται μέσα ή πάνω στην περιφέρειά του. Δύο από αυτές τις γωνίες, η επίκεντρη και η εγγεγραμμένη, είναι κεντρικές για την κατανόηση πολλών γεωμετρικών προβλημάτων και θεωρημάτων. Η σχέση τους είναι ένας ακρογωνιαίος λίθος της κυκλικής γεωμετρίας και συχνά αποτελεί αντικείμενο μελέτης στο γυμνάσιο και το λύκειο.
Η Επίκεντρη Γωνία
Ορισμός και Χαρακτηριστικά
Μια επίκεντρη γωνία είναι μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου (συνήθως συμβολίζεται με Ο) και οι πλευρές της είναι δύο ακτίνες του κύκλου. Αυτές οι ακτίνες τέμνουν την περιφέρεια σε δύο σημεία, έστω Α και Β. Η γωνία που σχηματίζεται, η γωνία ΑΟΒ, είναι η επίκεντρη γωνία. Το τμήμα της περιφέρειας μεταξύ των σημείων Α και Β ονομάζεται τόξο ΑΒ, και λέμε ότι η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ βαίνει ή αντιστοιχεί στο τόξο ΑΒ.
Μέτρο Επίκεντρης Γωνίας
Το μέτρο μιας επίκεντρης γωνίας είναι ίσο με το μέτρο του τόξου στο οποίο βαίνει. Αυτό είναι στην πραγματικότητα ο ορισμός του μέτρου του τόξου σε μοίρες. Αν το τόξο ΑΒ έχει μέτρο 60 μοίρες, τότε και η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ είναι 60 μοίρες. Αντίστροφα, αν γνωρίζουμε την επίκεντρη γωνία, γνωρίζουμε και το μέτρο του τόξου της.
Τύπος: Μέτρο (Επίκεντρης Γωνίας) = Μέτρο (Τόξου στο οποίο βαίνει)
Η Εγγεγραμμένη Γωνία
Ορισμός και Χαρακτηριστικά
Μια εγγεγραμμένη γωνία είναι μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, και οι πλευρές της είναι δύο χορδές του κύκλου. Έστω ότι έχουμε ένα σημείο Γ στην περιφέρεια και δύο άλλα σημεία Α και Β επίσης στην περιφέρεια. Η γωνία ΑΓΒ είναι μια εγγεγραμμένη γωνία. Όπως και στην επίκεντρη, η εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ βαίνει στο τόξο ΑΒ, το οποίο βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Β και δεν περιέχει την κορυφή Γ.
Μέτρο Εγγεγραμμένης Γωνίας
Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο βαίνει. Αυτή είναι μια θεμελιώδης ιδιότητα που τη διαφοροποιεί από την επίκεντρη γωνία.
Τύπος: Μέτρο (Εγγεγραμμένης Γωνίας) = ½ * Μέτρο (Τόξου στο οποίο βαίνει)
Η Σχέση Επίκεντρης και Εγγεγραμμένης Γωνίας
Το Θεώρημα και η Απόδειξή του (Σύντομη)
Το πιο σημαντικό θεώρημα που συνδέει αυτές τις δύο γωνίες είναι το εξής:
Θεώρημα: Σε έναν κύκλο, η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο.
Δηλαδή, αν η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ και η εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ βαίνουν και οι δύο στο τόξο ΑΒ, τότε ισχύει:
Μέτρο (ΑΓΒ) = ½ * Μέτρο (ΑΟΒ)
Αυτό το θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί εξετάζοντας τρεις βασικές περιπτώσεις για τη θέση της κορυφής Γ της εγγεγραμμένης γωνίας σε σχέση με το κέντρο Ο:
-
Το κέντρο Ο βρίσκεται πάνω σε μία από τις πλευρές της εγγεγραμμένης γωνίας (π.χ., η ΓΑ είναι διάμετρος):
- Σχεδιάζουμε την ακτίνα ΟΒ. Το τρίγωνο ΓΟΒ είναι ισοσκελές (ΟΓ=ΟΒ=ακτίνα).
- Η γωνία ΑΟΒ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΓΟΒ.
- Άρα, γωνία ΑΟΒ = γωνία ΟΓΒ + γωνία ΟΒΓ. Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, γωνία ΟΓΒ = γωνία ΟΒΓ.
- Συνεπώς, γωνία ΑΟΒ = 2 * γωνία ΟΓΒ (ή ΑΓΒ).
- Δηλαδή, η επίκεντρη είναι διπλάσια της εγγεγραμμένης.
-
Το κέντρο Ο βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας:
- Φέρουμε τη διάμετρο ΓΔ.
- Εφαρμόζουμε την περίπτωση 1 για τις γωνίες ΑΓΔ και ΒΓΔ, οι οποίες βαίνουν στα τόξα ΑΔ και ΒΔ αντίστοιχα.
- Γωνία ΑΓΔ = ½ * γωνία ΑΟΔ και γωνία ΒΓΔ = ½ * γωνία ΒΟΔ.
- Προσθέτοντας τις δύο σχέσεις, παίρνουμε: γωνία ΑΓΒ = γωνία ΑΓΔ + γωνία ΒΓΔ = ½ * (γωνία ΑΟΔ + γωνία ΒΟΔ) = ½ * γωνία ΑΟΒ.
-
Το κέντρο Ο βρίσκεται στο εξωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας:
- Φέρουμε τη διάμετρο ΓΔ.
- Εφαρμόζουμε την περίπτωση 1 για τις γωνίες ΑΓΔ και ΒΓΔ.
- Γωνία ΑΓΒ = γωνία ΔΓΒ - γωνία ΔΓΑ = ½ * γωνία ΔΟΒ - ½ * γωνία ΔΟΑ = ½ * (γωνία ΔΟΒ - γωνία ΔΟΑ) = ½ * γωνία ΑΟΒ.
Και στις τρεις περιπτώσεις, η σχέση επιβεβαιώνεται.
Ειδικές Περιπτώσεις
- Γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο: Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτό προκύπτει άμεσα από το θεώρημα, καθώς όλες θα είναι το μισό της ίδιας επίκεντρης γωνίας.
- Εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο: Αν μια εγγεγραμμένη γωνία βαίνει σε ένα ημικύκλιο (δηλαδή, το τόξο της είναι 180 μοίρες), τότε η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί σε αυτό το τόξο είναι 180 μοίρες (μια ευθεία γωνία). Επομένως, η εγγεγραμμένη γωνία θα είναι το μισό των 180 μοιρών, δηλαδή 90 μοίρες. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.
Λυμένα Παραδείγματα
Παράδειγμα 1
Σε έναν κύκλο με κέντρο Ο, δίνεται ότι η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ είναι 80°. Να βρείτε το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας ΑΓΒ που βαίνει στο ίδιο τόξο ΑΒ.
Λύση: Σύμφωνα με το θεώρημα, η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. Μέτρο (ΑΓΒ) = ½ * Μέτρο (ΑΟΒ) Μέτρο (ΑΓΒ) = ½ * 80° Μέτρο (ΑΓΒ) = 40°
Παράδειγμα 2
Σε έναν κύκλο, η εγγεγραμμένη γωνία ΔΕΖ είναι 35°. Να βρείτε το μέτρο του τόξου ΔΖ στο οποίο βαίνει και το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ΔΟΖ.
Λύση: Γνωρίζουμε ότι το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας είναι το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει. Μέτρο (ΔΕΖ) = ½ * Μέτρο (τόξου ΔΖ) 35° = ½ * Μέτρο (τόξου ΔΖ) Μέτρο (τόξου ΔΖ) = 2 * 35° = 70°
Επίσης, η επίκεντρη γωνία ΔΟΖ βαίνει στο ίδιο τόξο ΔΖ. Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας είναι ίσο με το μέτρο του τόξου. Μέτρο (ΔΟΖ) = Μέτρο (τόξου ΔΖ) Μέτρο (ΔΟΖ) = 70°
Παράδειγμα 3
Σε έναν κύκλο, δίνεται μια χορδή ΑΒ που είναι διάμετρος. Ένα σημείο Γ βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου. Τι μέτρο έχει η γωνία ΑΓΒ;
Λύση: Εφόσον η χορδή ΑΒ είναι διάμετρος, το τόξο ΑΓΒ (το τόξο στο οποίο βαίνει η γωνία ΑΓΒ) είναι ένα ημικύκλιο. Το μέτρο ενός ημικυκλίου είναι 180°. Η γωνία ΑΓΒ είναι μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε αυτό το ημικύκλιο. Σύμφωνα με την ειδική περίπτωση, μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Μέτρο (ΑΓΒ) = 90°
