Πώς κάνουμε πράξεις με θετικούς και αρνητικούς (ρητούς) αριθμούς;

Για να εκτελέσουμε πράξεις με θετικούς και αρνητικούς ρητούς αριθμούς, εφαρμόζουμε συγκεκριμένους κανόνες που αφορούν τόσο τις απόλυτες τιμές των αριθμών όσο και τα πρόσημά τους. Αυτοί οι κανόνες επεκτείνουν την αριθμητική που γνωρίζουμε από τους φυσικούς αριθμούς, επιτρέποντάς μας να χειριζόμαστε ποσότητες που βρίσκονται και κάτω από το μηδέν.

Τι είναι οι Ρητοί Αριθμοί;

Οι ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα α/β, όπου α είναι ακέραιος αριθμός και β είναι φυσικός αριθμός διάφορος του μηδενός. Αυτό περιλαμβάνει τους ακέραιους αριθμούς (όπως -3, 0, 5), τα κλάσματα (όπως 1/2, -3/4) και τους δεκαδικούς αριθμούς που έχουν πεπερασμένο πλήθος ψηφίων (όπως 0.5, -2.75) ή άπειρα επαναλαμβανόμενα ψηφία (όπως 1/3 = 0.333...).

Οι ρητοί αριθμοί χωρίζονται σε:

• Θετικούς ρητούς αριθμούς: Είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν (π.χ., 5, 1/2, 3.14). Στην αριθμογραμμή βρίσκονται δεξιά του μηδενός.
• Αρνητικούς ρητούς αριθμούς: Είναι μικρότεροι από το μηδέν (π.χ., -5, -1/2, -3.14). Στην αριθμογραμμή βρίσκονται αριστερά του μηδενός.
• Το μηδέν (0): Δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός. Είναι το σημείο αναφοράς στην αριθμογραμμή.

Απόλυτη Τιμή και Αντίθετοι Αριθμοί

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το μηδέν στην αριθμογραμμή και συμβολίζεται με |x|. Είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός.

• Παραδείγματα: |5| = 5, |-5| = 5, |0| = 0.

Δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι αν έχουν την ίδια απόλυτη τιμή αλλά διαφορετικό πρόσημο. Το άθροισμά τους είναι πάντα μηδέν.

• Παραδείγματα: Το 5 και το -5 είναι αντίθετοι. Το 1/2 και το -1/2 είναι αντίθετοι.

Πρόσθεση Ρητών Αριθμών

Οι κανόνες για την πρόσθεση εξαρτώνται από το αν οι αριθμοί έχουν το ίδιο ή διαφορετικό πρόσημο.

Πρόσθεση αριθμών με το ίδιο πρόσημο

Όταν προσθέτουμε δύο ή περισσότερους αριθμούς που έχουν το ίδιο πρόσημο:

1. Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών.
2. Στο αποτέλεσμα βάζουμε το κοινό τους πρόσημο.

• Παράδειγμα 1 (Θετικοί): 3 + 5 = |3| + |5| = 3 + 5 = 8. Το πρόσημο είναι θετικό (+). Άρα, 3 + 5 = +8.
• Παράδειγμα 2 (Αρνητικοί): (-3) + (-5).
  1. Απόλυτες τιμές: |-3| = 3, |-5| = 5.
  2. Άθροισμα απολύτων τιμών: 3 + 5 = 8.
  3. Κοινό πρόσημο: αρνητικό (-).
  4. Άρα, (-3) + (-5) = -8.

Πρόσθεση αριθμών με διαφορετικό πρόσημο

Όταν προσθέτουμε δύο αριθμούς που έχουν διαφορετικό πρόσημο:

1. Βρίσκουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών.
2. Αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
3. Το πρόσημο του αποτελέσματος είναι αυτό του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

• Παράδειγμα 3: 5 + (-3).
  1. Απόλυτες τιμές: |5| = 5, |-3| = 3.
  2. Αφαίρεση απολύτων τιμών: 5 - 3 = 2.
  3. Ο αριθμός με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή είναι το 5 (θετικό). Άρα, το αποτέλεσμα είναι θετικό.
  4. Άρα, 5 + (-3) = +2.
• Παράδειγμα 4: (-5) + 3.
  1. Απόλυτες τιμές: |-5| = 5, |3| = 3.
  2. Αφαίρεση απολύτων τιμών: 5 - 3 = 2.
  3. Ο αριθμός με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή είναι το -5 (αρνητικό). Άρα, το αποτέλεσμα είναι αρνητικό.
  4. Άρα, (-5) + 3 = -2.

Πρόσθεση με το μηδέν

Η πρόσθεση με το μηδέν δεν αλλάζει την τιμή του αριθμού:

• α + 0 = α και 0 + α = α.
• Παράδειγμα: (-7) + 0 = -7.

Αφαίρεση Ρητών Αριθμών

Η αφαίρεση ρητών αριθμών μετατρέπεται πάντα σε πρόσθεση.

Κανόνας: Για να αφαιρέσουμε έναν αριθμό, προσθέτουμε τον αντίθετό του. Δηλαδή, α - β = α + (-β).

Βήματα:

1. Αλλάζουμε το σύμβολο της αφαίρεσης (-) σε πρόσθεση (+).
2. Αλλάζουμε το πρόσημο του αριθμού που ακολουθεί (δηλαδή, τον αντικαθιστούμε με τον αντίθετό του).
3. Εφαρμόζουμε τους κανόνες της πρόσθεσης.

• Παράδειγμα 1: 5 - 3.
  1. Μετατρέπουμε: 5 + (-3).
  2. Εφαρμόζουμε κανόνες πρόσθεσης (διαφορετικά πρόσημα): |5| - |-3| = 5 - 3 = 2. Το πρόσημο είναι του 5 (θετικό).
  3. Άρα, 5 - 3 = 2.
• Παράδειγμα 2: 3 - 5.
  1. Μετατρέπουμε: 3 + (-5).
  2. Εφαρμόζουμε κανόνες πρόσθεσης (διαφορετικά πρόσημα): |-5| - |3| = 5 - 3 = 2. Το πρόσημο είναι του -5 (αρνητικό).
  3. Άρα, 3 - 5 = -2.
• Παράδειγμα 3: (-4) - (-7).
  1. Μετατρέπουμε: (-4) + (+7). (Ο αντίθετος του -7 είναι το +7).
  2. Εφαρμόζουμε κανόνες πρόσθεσης (διαφορετικά πρόσημα): |7| - |-4| = 7 - 4 = 3. Το πρόσημο είναι του 7 (θετικό).
  3. Άρα, (-4) - (-7) = 3.

Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών

Στον πολλαπλασιασμό, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον κανόνα των προσήμων.

Κανόνες Προσήμων:

• Ίδια πρόσημα: Το γινόμενο είναι θετικό.
  • (+) * (+) = (+)
  • (-) * (-) = (+)
• Διαφορετικά πρόσημα: Το γινόμενο είναι αρνητικό.
  • (+) * (-) = (-)
  • (-) * (+) = (-)

Βήματα:

1. Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών.
2. Εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα προσήμων για το αποτέλεσμα.

• Παράδειγμα 1: 4 * 3 = 12 (Θετικό * Θετικό = Θετικό)
• Παράδειγμα 2: (-4) * (-3) = 12 (Αρνητικό * Αρνητικό = Θετικό)
• Παράδειγμα 3: 4 * (-3) = -12 (Θετικό * Αρνητικό = Αρνητικό)
• Παράδειγμα 4: (-4) * 3 = -12 (Αρνητικό * Θετικό = Αρνητικό)
• Παράδειγμα 5: (-2) * (-1/2) = +1 (Αρνητικό * Αρνητικό = Θετικό)

Διαίρεση Ρητών Αριθμών

Οι κανόνες για τη διαίρεση είναι πανομοιότυποι με αυτούς του πολλαπλασιασμού όσον αφορά τα πρόσημα.

Κανόνες Προσήμων:

• Ίδια πρόσημα: Το πηλίκο είναι θετικό.
  • (+) / (+) = (+)
  • (-) / (-) = (+)
• Διαφορετικά πρόσημα: Το πηλίκο είναι αρνητικό.
  • (+) / (-) = (-)
  • (-) / (+) = (-)

Βήματα:

1. Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών.
2. Εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα προσήμων για το αποτέλεσμα.

• Παράδειγμα 1: 12 / 3 = 4 (Θετικό / Θετικό = Θετικό)
• Παράδειγμα 2: (-12) / (-3) = 4 (Αρνητικό / Αρνητικό = Θετικό)
• Παράδειγμα 3: 12 / (-3) = -4 (Θετικό / Αρνητικό = Αρνητικό)
• Παράδειγμα 4: (-12) / 3 = -4 (Αρνητικό / Θετικό = Αρνητικό)
• Σημείωση: Η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται.

Προτεραιότητα Πράξεων

Όταν σε μια αριθμητική παράσταση υπάρχουν πολλές πράξεις, ακολουθούμε μια συγκεκριμένη σειρά:

1. Παρένθεση (και άλλες ομαδοποιήσεις, όπως αγκύλες, άγκιστρα).
2. Δυνάμεις (και ρίζες).
3. Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται, από αριστερά προς τα δεξιά).
4. Προσθέσεις και Αφαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται, από αριστερά προς τα δεξιά).

Λυμένα Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Αριθμητική Παράσταση με Πρόσθεση και Αφαίρεση

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: (-8) + 15 - (-4) + (-6)

Λύση:

1. Μετατρέπουμε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις με τον αντίθετο αριθμό: (-8) + 15 + (+4) + (-6)
2. Ομαδοποιούμε τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς για ευκολία (προαιρετικό): (+15) + (+4) + (-8) + (-6)
3. Προσθέτουμε τους θετικούς: 15 + 4 = 19.
4. Προσθέτουμε τους αρνητικούς: (-8) + (-6) = -14 (προσθέτουμε απόλυτες τιμές 8+6=14 και βάζουμε το κοινό πρόσημο -).
5. Τώρα έχουμε: 19 + (-14).
6. Προσθέτουμε αριθμούς με διαφορετικό πρόσημο: Αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη |19| - |-14| = 19 - 14 = 5. Το πρόσημο είναι του 19 (θετικό).
7. Αποτέλεσμα: 5.

Παράδειγμα 2: Αριθμητική Παράσταση με Πολλαπλασιασμό και Διαίρεση

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: (-24) / 6 * (-2)

Λύση:

1. Εκτελούμε τις πράξεις από αριστερά προς τα δεξιά. Πρώτα η διαίρεση: (-24) / 6. Διαφορετικά πρόσημα, άρα το αποτέλεσμα είναι αρνητικό. 24 / 6 = 4. Άρα, (-24) / 6 = -4.
2. Η παράσταση γίνεται: (-4) * (-2).
3. Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό: (-4) * (-2). Ίδια πρόσημα, άρα το αποτέλεσμα είναι θετικό. 4 * 2 = 8.
4. Αποτέλεσμα: 8.

Παράδειγμα 3: Σύνθετη Αριθμητική Παράσταση

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: 10 - (-3) * 4 + (-18) / 9

Λύση:

1. Πρώτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις, από αριστερά προς τα δεξιά:
   • (-3) * 4: Διαφορετικά πρόσημα, αποτέλεσμα αρνητικό. 3 * 4 = 12. Άρα, (-3) * 4 = -12.
   • (-18) / 9: Διαφορετικά πρόσημα, αποτέλεσμα αρνητικό. 18 / 9 = 2. Άρα, (-18) / 9 = -2.
2. Η παράσταση τώρα γίνεται: 10 - (-12) + (-2).
3. Μετατρέπουμε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις: 10 + (+12) + (-2).
4. Εκτελούμε τις προσθέσεις από αριστερά προς τα δεξιά:
   • 10 + 12 = 22.
   • 22 + (-2): Διαφορετικά πρόσημα. |22| - |-2| = 22 - 2 = 20. Το πρόσημο είναι του 22 (θετικό).
5. Αποτέλεσμα: 20.